一道imo2000的题

100张不同国家的纸币（每个纸币面值各不相同且这100张纸币面值从1,2,3一直递增到98，99,100）将这些纸币随机放在3个盒子中（每个盒子至少一张），且放之后你知道各个盒子的纸币放法

如果随机选择两个盒子并随机从两个盒子里各取一张纸币，并且只知道这两张纸币的面值之和（不知道抽取过程从而直接知道未抽的盒子，也不知道两张纸币分别面值多少，只知道三个盒子里的纸币放法），就能找到此次抽取结果的第三个盒子（没有抽取的那一个）

问：能做到上述条件的纸币放法一共有几种？

这是某个神仙群里一位群友问的问题。我想了好久，还给出了错误的答案。。

显然的结论

若$i,j,k$在三个不同的盒子里，必然满足$i+j-k$与$k$在同一个盒子里

证明：如果$i$与$i+j-k$在同一个盒子里，$i+j=k+(i+j-k)$，与题意矛盾。

我的思考

根据上面的结论，我们注意到，如果$i,j,k$三个数$mod\ 3$余数不同，必然满足$k\equiv i+j-k\pmod{3}$。这个大概想想就有了。

于是我猜，只能把$mod\ 3$余数相同的球放在一个盒子里。答案就是$3!=6$。（我和群友讨论的时候不小心把$3!$说成$3$了qaq），但是其实这只是正确答案的一个子集。。

正解

我们首先要考虑，$1,2,3$三个小球的位置关系。

一、$1,2,3$在三个不同的盒子里

​ 此时，根据上面的结论，$4=3+2-1$与$1$在同一个盒子里。类似的，对于任何一个$k$，它一定与$(k-1)+(k- 2)-k=k-3$在同一个盒子里。这就是我猜的那种情况。方案数是$3!=6$。

一、$1,2,3$在同一个的盒子里